Квадратні рівняння у ал-Хорезмі

 У алгебраїчному трактаті ал-Хорезмі дається класифікація лінійних і квадратних рівнянь. Автор нараховує 6 видів рівнянь, висловлюючи їх наступним чином:

 1) «Квадрати рівні коренів», тобто ах2 = bх.

 2) «Квадрати рівні числа», тобто ах2 = с.

 3) «Коріння рівні числа», тобто ах = с.

 4) «Квадрати і числа рівні коренів», тобто ах2 + з = bх.

 5) «Квадрати і коріння рівні числа», тобто ах2 + bх = с.

 6) «Коріння і числа рівні квадратах», тобто bх + с == ах2.

 Для ал-Хорезмі, який уникав вживання негативних чисел, члени кожного з цих рівнянь складові, а не віднімається. При цьому свідомо не беруться до уваги рівняння, у яких немає позитивних рішень. Автор викладає способи вирішення зазначених рівнянь, користуючись прийомами ал-джабр і ал-мукабала. Його рішення, звичайно, не повністю збігається з нашим. Вже не говорячи про те, що воно чисто риторичний, слід відзначити, наприклад, що при вирішенні неповного квадратного рівняння першого виду ал-Хорезмі, як і всі математики до XVII ст., не враховує нульового рішення, ймовірно, тому,що в конкретних практичних задачах воно не має значення. При вирішенні повних квадратних рівнянь ал-Хорезмі на приватних числових прикладах викладає правила рішення, а потім їх геометричні докази.

 Наведемо приклад.

 Завдання 14. «Квадрат і число 21 рівні 10 коріння. Знайти корінь »

(мається на увазі корінь рівняння х2 + 21 = 10х).

 Рішення автора говорить приблизно так: роздягнули навпіл число коренів,отримаєш 5, Додай 5 саме на себе, від твору відбери 21, залишиться 4.

Витягни корінь з 4, отримаєш 2. Забери 2 від 5, отримаєш 3, це і буде шуканий корінь. Або ж додай 2 до 5, що дасть 7, це теж є корінь.

 Трактат ал-Хорезмі є першою дійшла до нас книгою, в якій систематично викладена класифікація квадратних рівнянь і дані формули їх вирішення.

Древній Вавилон і квадратні рівняння

 Необхідність вирішувати рівняння не тільки першим, а й другого ступеня ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані ззнаходженням площ земельних ділянок і з земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії і самої математики. Квадратні рівняння вміли вирішувати близько 2000 років до н. е.. вавілоняни. Застосовуючи сучасну алгебраїчну запис, можна сказати, що в їх клинописних текстах зустрічаються, крім неповних, і повні квадратні рівняння.

 Правило рішення цих рівнянь, викладене у вавилонських текстах,збігається по суті з сучасним, проте невідомо, яким чином дійшли вавілоняни до цього правила. Майже всі знайдені до цих пір клинописні тексти призводять тільки завдання з рішеннями, викладеними у вигляді рецептів, безвказівок щодо того, яким чином вони були знайдені.

 Незважаючи на високий рівень розвитку алгебри у Вавилоні, в клинописнихт екстах відсутні поняття від'ємного числа.

Як розв'язував рівняння Діофант

У «Арифметиці» Діофанта немає систематичного викладу алгебри, проте в ній міститься систематизований ряд завдань, які супроводжуються поясненнями що вирішуються за допомогою складання рівнянь різних ступенів.

 При складанні рівнянь Діофант для спрощення рішення вміло вибирає невідомі.

 Ось, наприклад, одна з його завдань.

 Завдання 11. «Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а добуток - 96 ».

 Діофант розмірковує наступним чином: з умови задачі випливає, що шукані числа не рівні, тому що якщо б вони були рівні, то їх добуток дорівнював би не 96, а 100. Таким чином, одне з них буде більше половини їх суми, тобто 10 + х, інше ж менше, тобто. 10 - х. Різниця міжними 2х. Звідси рівняння

 (10 + x) (10-x) = 96,або ж

 100-x2 = 96.

 x2 - 4 = 0

Звідси х == 2. Одне з шуканих чисел дорівнює 12, інше 8. Рішення х = - 2для Діофанта не існує, тому що грецька математика знала тільки позитивні числа.

 Якщо ми вирішимо це завдання, вибираючи як невідомого одне з шуканих чисел, то ми прийдемо до рішення рівняння

 y (20-y) = 96

 y2 - 20y +96 = 0

 Ясно, що, вибираючи як неізвестного полуразность шуканих чисел,

Діофант спрощує рішення; йому вдається звести задачу до вирішення неповного квадратного рівняння

Ура! Ми почали дослідження!!!

Подорож розпочалася!

 Ми учні 9 класу вирушили досліджувати виникнення квадратних рівнянь.
Ми дослідимо квадратні рівняння у Древньому Вавилоні, у Індії.
Розглянемо, як розв'язували квадратні рівняння Діофант, Бхаскара, ал - Хорезмі.
Це захоплююча подорож, запрошуємо всіх бажаючих!